设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足,求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ).

admin2019-05-08  15

问题 设f(x)在区间[a,b]上可导,且满足,求证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(ξ)=-f’(ξ).

选项

答案由于[*] 又f(x)在[a,b]上连续,所以[*]上的平均值. 由于F(x)=exf(x)在[*]上连续,由积分中值定理即知至少存在一点c∈[*]使得 [*] 所以在区间[c,b]上有F(c)=F(b).由罗尔定理即知存在ξ∈(c,b),使得 F’(ξ)=eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0, 又eξ≠0,所以有f(ξ)=-f’(ξ).

解析
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