设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足，求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=-f’(ξ)．

admin2019-05-08 13

问题设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足

，求证：至少存在一点ξ∈(a，b)使得f(ξ)=-f’(ξ)．

选项

答案由于[*] 又f(x)在[a，b]上连续，所以[*]上的平均值．由于F(x)=e^xf(x)在[*]上连续，由积分中值定理即知至少存在一点c∈[*]使得 [*] 所以在区间[c，b]上有F(c)=F(b)．由罗尔定理即知存在ξ∈(c，b)，使得 F’(ξ)=e^ξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0，又e^ξ≠0，所以有f(ξ)=-f’(ξ)．

解析

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考研数学三

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