设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，一的概率分布为P{Y=-1}=p，P{y=1}=1-p，(0＜p＜1)，令z=XY。求Z的概率密度；

admin2022-09-08 44

问题设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，一的概率分布为P{Y=-1}=p，P{y=1}=1-p，(0＜p＜1)，令z=XY。
求Z的概率密度；

选项

答案因为X～E（1），显然X的分布函数为[*]，　　F_Z(Z)=P{XY≤z}=P{Y=-1}P{XY≤z| Y=-1}+P{Y=1}P{XY≤z| Y=1} 　　 =pP{-X≤z}+(1-p)P{X≤z}=pP{X≥-z}+(1-P)P{X≤z} 　　 =p[1-P{X≤-z}]+(1-p)P{X≤z}=p[1-F(-z)]+(1-P)F(z)，　　当z＜0时，F_Z(z)=pe^z；　　当z≥0时，F_Z(z)=p+(1-P)(1-e^-x)；　　故Z的概率密度为[*]

解析

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考研数学一

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