设A为n阶非零矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵．当A=AT时，证明｜A｜≠0．

admin2019-04-08 55

问题设A为n阶非零矩阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵．当A^*=A^T时，证明｜A｜≠0．

选项

答案用反证法证之．若｜A｜=0，则AA^T=AA^*=｜A｜E=O．设A=[a_ij]_n×n的行向量为a_i(i=1，2，…，n)，则由AA^T=O得α_iα_i^T=a_i1²+a_i2²+…+a_in²=0(i=1，2，…，n)，于是α_i=0(a_i1，a_i2，…a_in)(i=1，2，…，n)，进而有A=O．这与A≠O矛盾，故｜A｜=0．

解析

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考研数学一

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