首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
admin
2018-11-23
50
问题
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价:
(1)(A-aE)(A-bE)=0.
(2)r(A-aE)+r(A-bE)=n.
(3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
选项
答案
不妨设a和b都是A的特征值.(因为如果a不是A的特征值,则3个断言都推出A=bE.如果b不是A的特征值,则3个断言都推出A=aE.) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质,由(A-aE)(A-bE)=0.得到: r(A-aE)+r(A-bE)≤n, r(A-aE)+r(A-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n, 从而r(A-aE)+r(A-bE)=n. (2)[*](3) 记k
a
,k
b
分别是a,b的重数,则有 k
a
≥n-r(A-aE) ① k
b
≥n-r(A-bE) ② 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n,于是其中“≥”都为”=”,从而①和②都是等式,并且后k
a
+k
b
=n. k
a
+k
b
=n,说明A的特征值只有a和b,它们都满足(λ-a)(λ-b)=0. ①和②都是等式,说明A相似于对角矩阵. (3)[*](1) A的特征值满足(λ-a)(λ-b)=0,说明A的特征值只有a和b.设B是和A相似的对角矩阵,则它的对角线上的元素都是a或b,于是(B-aE)(B-bE)=0.而(A-aE)(A-aE)相似于(A-bE)(B-bE),因此(A-aE)(A-bE)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BnM4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
求下列函数的导数:
求齐次线性方程组,的基础解系.
已知X,Y为随机变量且P{X≥0,Y≥0}=,设A={max(X,Y)≥0},B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0},C={max(X,Y)≥0,min(X,Y)<0},则P(A)=_________,P(B)=_________,P(C)=_
已知A,B都是n阶矩阵,且P-1AP=B,若α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则矩阵B必有特征向量__________.
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量Z=X—Y的方差DZ为_________.
设A,B都是三阶矩阵,A相似于B,且|E—A|=|E一2A|=|E一3A|=0,则|B-1+2E|=___________.
微分方程xy’+2y=sinx满足条件y(π)=的通解为________。
设X~N(μ,σ2),其中σ2已知,μ为未知参数.从总体X中抽取容量为16的简单随机样本,且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588,则σ2=___________·
微分方程y’’-7y’=(x-1)2的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是________
设有线性方程组(1)证明:当a1,a2,a3,a4两两不等时,此方程组无解;(2)设a1=a3=k,a2=a4=一k(k≠0)时,β1=(一1,1,1)T,β2=(1,1,一1)T是方程组的两个解,写出此方程组的通解.
随机试题
A.麻醉药品B.一类精神药品C.二类精神药品D.处方药E.非处方药专用处方保存三年备查的药品是
(2010年)百年一遇的洪水,是指()。
协调处理现场周围的保护工作是( )的义务。
计算单位工程的工程量应按( )计算。
秦先生目前在某咨询公司任项目经理,月薪税前1.5万人民币,按15%缴纳三险一金,年底约有税前15万元的奖金收入。秦太太是幼儿园教师,工作稳定,每月收入税后3500元。二人目前均为32岁,2005年结婚,2005年6月首付15万元,采用等额本息方式贷款购买了
导游人员在对儿童的接待中,下列说法正确的是()
包装策略主要包括()
税收是国家普遍采用的取得财政收人的形式,它与其他财政收入形式相比,具有()等形式特征。
Hisdogwas______byatrucklastnightanddiedimmediately.
Internetpiracyisdefinedas______.SalesofpiratedsoftwareovertheInternethasbeenencouragedbyallofthefollowingEX
最新回复
(
0
)