2. 考研
  3. 设y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个解，且＝0． (Ⅰ)求y(χ)，并求y＝y(χ)到χ轴的最大距离． (Ⅱ)计算∫0＋∞y(χ)dχ．

设y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个解，且＝0． (Ⅰ)求y(χ)，并求y＝y(χ)到χ轴的最大距离． (Ⅱ)计算∫0＋∞y(χ)dχ．

admin2019-07-28  89
问题 设y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个解，且＝0．
    (Ⅰ)求y(χ)，并求y＝y(χ)到χ轴的最大距离．
    (Ⅱ)计算∫0＋∞y(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特征方程为2λ2＋λ－1＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝[*]，得2y〞＋y′－y＝0的通解为y＝C1e-χ＋C2[*]， 令2y〞－y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解为y0＝(aχ2＋bχ)e-χ，代入得a＝1，b＝0， 原方程的通解为：y＝C1e-χ＋C2[*]＋χ2e-χ． 由[*]＝0得y(0)＝00，y′(0)＝0，代入通解得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ 由y′(2χ－χ2)e-χ＝0得χ＝2， 当χ∈(0，2)时，y＞0；当χ＞2时，y′＜0，则χ＝2为y(χ)的最大点， 故最大距离为dmax＝y(2)＝4e-2． (Ⅱ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝г(3)＝2!＝2．
解析
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考研数学二

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