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设y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e-χ的一个解,且=0. (Ⅰ)求y(χ),并求y=y(χ)到χ轴的最大距离. (Ⅱ)计算∫0+∞y(χ)dχ.
设y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e-χ的一个解,且=0. (Ⅰ)求y(χ),并求y=y(χ)到χ轴的最大距离. (Ⅱ)计算∫0+∞y(χ)dχ.
admin
2019-07-28
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问题
设y=y(χ)(χ>0)是微分方程2y〞+y′-y=(4-6χ)e
-χ
的一个解,且
=0.
(Ⅰ)求y(χ),并求y=y(χ)到χ轴的最大距离.
(Ⅱ)计算∫
0
+∞
y(χ)dχ.
选项
答案
(Ⅰ)2y〞+y′-y=(4-6χ)e
-χ
的特征方程为2λ
2
+λ-1=0,特征值为λ
1
=-1,λ
2
=[*],得2y〞+y′-y=0的通解为y=C
1
e
-χ
+C
2
[*], 令2y〞-y′-y=(4-6χ)e
-χ
的特解为y
0
=(aχ
2
+bχ)e
-χ
,代入得a=1,b=0, 原方程的通解为:y=C
1
e
-χ
+C
2
[*]+χ
2
e
-χ
. 由[*]=0得y(0)=00,y′(0)=0,代入通解得C
1
=C
2
=0,故y=χ
2
e
-χ
由y′(2χ-χ
2
)e
-χ
=0得χ=2, 当χ∈(0,2)时,y>0;当χ>2时,y′<0,则χ=2为y(χ)的最大点, 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
-2
. (Ⅱ)∫
0
+∞
y(χ)dχ=∫
0
+∞
χ
2
e
-χ
dχ=г(3)=2!=2.
解析
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考研数学二
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