(Ⅰ) 选取参数λ,使得上∫LPdx+Qdy在区域D={(x,y)| y>0 }内与路径无关; (Ⅱ) 选取参数λ,使得Pdx+Qay在D上存在原函数并求出全体原函数.

admin2019-08-09  33

问题
    (Ⅰ)  选取参数λ,使得上∫LPdx+Qdy在区域D={(x,y)| y>0 }内与路径无关;
    (Ⅱ)  选取参数λ,使得Pdx+Qay在D上存在原函数并求出全体原函数.

选项

答案(Ⅰ) 这里区域D是单连通的,P,Q在D上有连续的偏导数,于是 ∫LPdx+Qdy在D内与路径无关[*] 注意[*],即在区域D上 [*]-2r2-λx2=-r2+Ay2[*](λ+1)r2=0[*]λ=-1. 因此,仅当λ=-1时∫LPdx+Qdy在D内与路径无关. (Ⅱ) 只要P,Q在D上连续,则 Pdx+Qdy在D上存在原函数[*]∫Lpdx+Qdy在D内与路径无关. 因此,由题(Ⅰ)知仅λ=-1时Pdx+Qdy在D存在原函数.下求原函数u(du=Pdx+Qdy): 不定积分法.[*] [*] 因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为u=[*]+C.

解析
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