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(Ⅰ) 选取参数λ,使得上∫LPdx+Qdy在区域D={(x,y)| y>0 }内与路径无关; (Ⅱ) 选取参数λ,使得Pdx+Qay在D上存在原函数并求出全体原函数.
(Ⅰ) 选取参数λ,使得上∫LPdx+Qdy在区域D={(x,y)| y>0 }内与路径无关; (Ⅱ) 选取参数λ,使得Pdx+Qay在D上存在原函数并求出全体原函数.
admin
2019-08-09
100
问题
(Ⅰ) 选取参数λ,使得上∫
L
Pdx+Qdy在区域D={(x,y)| y>0 }内与路径无关;
(Ⅱ) 选取参数λ,使得Pdx+Qay在D上存在原函数并求出全体原函数.
选项
答案
(Ⅰ) 这里区域D是单连通的,P,Q在D上有连续的偏导数,于是 ∫
L
Pdx+Qdy在D内与路径无关[*] 注意[*],即在区域D上 [*]-2r
2
-λx
2
=-r
2
+Ay
2
[*](λ+1)r
2
=0[*]λ=-1. 因此,仅当λ=-1时∫
L
Pdx+Qdy在D内与路径无关. (Ⅱ) 只要P,Q在D上连续,则 Pdx+Qdy在D上存在原函数[*]∫
L
pdx+Qdy在D内与路径无关. 因此,由题(Ⅰ)知仅λ=-1时Pdx+Qdy在D存在原函数.下求原函数u(du=Pdx+Qdy): 不定积分法.[*] [*] 因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为u=[*]+C.
解析
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考研数学一
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