设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a－bQ， C=Q3－7Q2+100Q+50，其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

admin2019-02-20 68

问题设平均收益函数和总成本函数分别为
AR=a－bQ， C=

Q³－7Q²+100Q+50，
其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性

时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

选项

答案总利润函数 L(Q)=R－C=Q·AR－C=[*]Q³+(7－b)Q²+(n－100)Q－50，从而使总利润最大的产量Q及相应的a，b应满足L’(Q)=0，MR=67及[*]即 [*] 解得a=111，Q=3或11，[*]或2．由此得到两组可能的解：a=111，[*]Q=3与a=111，b=2，Q=11．把第一组数据中的a，b代入得总利润函数 [*] 虽然L’(3)=0，L"(3)＜0，即L(3)确实是L(x)的最大值，但L(3)＜0，不符合实际，故应舍去．把第二组数据中的a，b代入得总利润函数 L=[*]Q³+5Q²+11Q一50，也有L’(11)=0，L"(11)＜0，即[*]是L(x)的最大值，故a=111，b=2是所求常数的值，使利润最大的产量Q=11．

解析平均收益函数AR=a－bQ其实就是价格P与销售量Q的关系式，由此可得总收益函数
R=Q·AR=aQ－bQ²，
需求函数(它是P=a－bQ的反函数)

进而可得需求价格弹性

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考研数学三

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设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a－bQ， C=Q3－7Q2+100Q+50，其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

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