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设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,C是m×s矩阵,满足AB=C,如果秩r(A)=n,证明秩r(B)=r(C).
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,C是m×s矩阵,满足AB=C,如果秩r(A)=n,证明秩r(B)=r(C).
admin
2018-06-15
33
问题
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,C是m×s矩阵,满足AB=C,如果秩r(A)=n,证明秩r(B)=r(C).
选项
答案
对齐次方程组(Ⅰ)ABx=0,(Ⅱ)Bx=0, 如α是(Ⅱ)的解,有Bα=0,那么ABα=0,于是α是(Ⅰ)的解. 如α是(Ⅰ)的解,有ABα=0,因为A是m×n矩阵,秩r(A)=n,所以Ax=0只有零解,从而Bα=0.于是α是(Ⅱ)的解. 因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解.那么s-r(AB)=s-r(B),即r(AB)=r(B). 所以r(B)=r(C).
解析
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考研数学一
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