将函数f(x)=2+｜x｜-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求数项级数的和．

admin2016-01-23 50

问题将函数f(x)=2+｜x｜-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求数项级数

的和．

选项

答案因f(x)=2+｜x｜是偶函数，且展开成以2为周期的傅里叶级数，故 a₀=[*](2+｜x｜)dx=[*](2+x)dx=5， a_n=[*](2+｜x｜)cosnπxdx=[*](2+x)cosnπxdx=[*]，n=1，2，3，…， b_n=[*](2+｜x｜)sinnπxdx=0，n=1，2，3，…．由于f(x)在区间[-1，1]上满足狄利克雷收敛定理条件，故有 [*] 上式中令x=0，得 [*] 因此[*]

解析本题考查函数的傅里叶级数展开式问题，只要求出相应的傅里叶系数即可．
注：读者要熟记傅里叶级数及其傅里叶系数的一般形式，即