将函数f(x)=2+|x|-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求数项级数的和.

admin2016-01-23  30

问题 将函数f(x)=2+|x|-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求数项级数的和.

选项

答案因f(x)=2+|x|是偶函数,且展开成以2为周期的傅里叶级数,故 a0=[*](2+|x|)dx=[*](2+x)dx=5, an=[*](2+|x|)cosnπxdx=[*](2+x)cosnπxdx=[*],n=1,2,3,…, bn=[*](2+|x|)sinnπxdx=0,n=1,2,3,…. 由于f(x)在区间[-1,1]上满足狄利克雷收敛定理条件,故有 [*] 上式中令x=0,得 [*] 因此[*]

解析 本题考查函数的傅里叶级数展开式问题,只要求出相应的傅里叶系数即可.
注:读者要熟记傅里叶级数及其傅里叶系数的一般形式,即

其中
    另要熟悉狄利克雷收敛定理的条件与结论.
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