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设矩阵。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P—1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。

admin2018-12-19  37
问题 设矩阵。当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P—1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。
选项
答案矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=[*]=(λ+1)2(λ一1)。 则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1。 矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E一A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得 [*] 当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E一A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。 令可逆矩阵P=(α1，α2，α3)，则P—1AP=[*]。
解析
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考研数学二

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