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设矩阵。当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P—1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。
设矩阵。当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P—1AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。
admin
2018-12-19
47
问题
设矩阵
。当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P
—1
AP为对角矩阵?并求出矩阵P和相应的对角矩阵。
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=(λ+1)
2
(λ一1)。 则A的特征值为λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=1。 矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个,即线性方程组(一E一A)x=0有两个线性无关的解向量,则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得 [*] 当k=0时,r(A+E)=1。此时,由(一E一A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α
1
=(一1,2,0)
T
,α
2
=(1,0,2)
T
;由(E一A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α
3
=(1,0,1)
T
。 令可逆矩阵P=(α
1
,α
2
,α
3
),则P
—1
AP=[*]。
解析
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