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设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1):0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’"(c)=0.
设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1):0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’"(c)=0.
admin
2019-02-20
68
问题
设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1):0.设F(x)=x
2
f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’"(c)=0.
选项
答案
由于F(0)=F(1)=0,F(x)在[0,1]可导,故存在ξ
1
∈(0,1)使得F’(ξ
1
)=0.又 F’(x)=x
2
f’(x)+2xf(x), 于是由F’(0)=0,F’(ξ
1
)=0及F’(x)在[0,1]可导知,存在ξ
2
∈(0,ξ
1
)使得F"(ξ
2
)=0.又因 F"(x)=x
2
f"(x)+4xf’(x)+2f(x), 于是由F"(0)=F"(ξ
2
)=0及F"(x)在[0,1]可导知,存在c∈(0,ξ
2
)[*](0,1)使得F’"(c)=0.
解析
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0
考研数学三
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