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考研
设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是 ( )
设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是 ( )
admin
2020-04-09
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问题
设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是 ( )
选项
A、对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0,则A=O.
B、对任意的n维列向量ξ,有ξ
T
Aξ=0,则A=O.
C、对任意的n阶矩阵B,有AB=O,则A=O.
D、对任意的n阶矩阵B,有B
T
AB=O,则A=O.
答案
B
解析
法一 选项(A)对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0.分别取ξ
1
=(1,0,…,0)
T
,ξ
2
=(0,1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(0,0,…,1)
T
代入,即得A
ij
=0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).故A=O.选项(C),(D)对任意的n阶矩阵B,有AB=O及B
T
AB=O.只要取B=E,即可得出A=0.故由排除法,应选B.
法二 对选项(B),只要A是非零反对称矩阵,即A
T
=一A≠O时,则对任意的n维列向量ξ,因ξ
T
Aξ是数,故有ξ
T
Aξ=(ξ
T
Aξ)
T
=ξ
T
A
T
ξ=一ξ
T
Aξ,则2ξ
T
Aξ=0,即ξ
T
Aξ=0,但A≠O.故选项(B)是错误的,应选B.
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考研数学三
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