设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是 ( )

admin2020-04-09  37

问题 设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是    (    )

选项 A、对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0,则A=O.
B、对任意的n维列向量ξ,有ξTAξ=0,则A=O.
C、对任意的n阶矩阵B,有AB=O,则A=O.
D、对任意的n阶矩阵B,有BTAB=O,则A=O.

答案B

解析 法一  选项(A)对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0.分别取ξ1=(1,0,…,0)T,ξ2=(0,1,…,0)T,…,ξn=(0,0,…,1)T代入,即得Aij=0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).故A=O.选项(C),(D)对任意的n阶矩阵B,有AB=O及BTAB=O.只要取B=E,即可得出A=0.故由排除法,应选B.
法二  对选项(B),只要A是非零反对称矩阵,即AT=一A≠O时,则对任意的n维列向量ξ,因ξTAξ是数,故有ξTAξ=(ξTAξ)TTATξ=一ξTAξ,则2ξTAξ=0,即ξTAξ=0,但A≠O.故选项(B)是错误的,应选B.
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