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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在ξ∈(0,3),使fˊ(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在ξ∈(0,3),使fˊ(ξ)=0.
admin
2019-03-12
39
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证:必存在ξ∈(0,3),使fˊ(ξ)=0.
选项
答案
函数f(x)在[0,3]上连续,则f(x)在[0,2]上连续,那么其在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M,m≤f(1)≤M,m≤f(2)≤M, m≤[*]≤M, 由介值定理知,至少存在一点η∈[0,2],使得 f(η)=[*]=1, 于是便有f(η)=1=f(3),满足罗尔定理条件,于是存在ξ∈(η,3)[*](0,3),使fˊ(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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