设f(x，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求

admin2019-03-12 32

问题设f(x，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2e^x-f(x)，且f(0)=0，g(0)=2，求

选项

答案由f’(x)=g(x)可得f’’(x)=g’(x)，结合g’(x)=2e^x-f(x)可得f(x)满足微分方程 f’’(x)=2e^x-f(x)，即 y’’=2e^x-y．它对应的齐次方程为y’’+y=0，特征方程为λ²+1=0，特征根为λ₁=i，λ₂=-i．因此y’’+y=0的通解为 y=C₁cosx+C₂sinx．在y’’+y=2e^x中，由于λ=1不是其齐次方程的特征根，因此它有形如y=ae^x的特解，将y=ae^x 代入方程y’’+y=2e^x中可得a=1．因此y’’+y=2e^x的通解为 y=C₁cosx+C₂sinx+e^x 由f(0)=0，g(0)=2，可知f(x)是y’’+y=2e^x的满足初值条件y(0)=0，y’(0)=2的特解．将初值条件代入通解中得C₁=-1，C₂=1．因此 f(x)=-cosx+sinx+e^x．由于 [*] 注意到，f(0)=0，f’(x)=g(x)，因此 [*]

解析由f’(x)=g(x)两边求导可得f’’(x)=g’(x)，再由g’(x)=2e^x-f(x)可得f(x)所满足的微分方程．

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考研数学三

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