设f(x,g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex-f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

admin2019-03-12  30

问题 设f(x,g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex-f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

选项

答案由f’(x)=g(x)可得f’’(x)=g’(x),结合g’(x)=2ex-f(x)可得f(x)满足微分方程 f’’(x)=2ex-f(x),即 y’’=2ex-y. 它对应的齐次方程为y’’+y=0,特征方程为λ2+1=0,特征根为λ1=i,λ2=-i.因此y’’+y=0的通解为 y=C1cosx+C2sinx. 在y’’+y=2ex中,由于λ=1不是其齐次方程的特征根,因此它有形如y=aex的特解,将y=aex 代入方程y’’+y=2ex中可得a=1.因此y’’+y=2ex的通解为 y=C1cosx+C2sinx+ex 由f(0)=0,g(0)=2,可知f(x)是y’’+y=2ex的满足初值条件y(0)=0,y’(0)=2的特解.将初值条件代入通解中得C1=-1,C2=1.因此 f(x)=-cosx+sinx+ex. 由于 [*] 注意到,f(0)=0,f’(x)=g(x),因此 [*]

解析 由f’(x)=g(x)两边求导可得f’’(x)=g’(x),再由g’(x)=2ex-f(x)可得f(x)所满足的微分方程.
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