设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

admin2013-09-15  53

问题 设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a+b)≤f(a)+f(b),其中常数a,b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

选项

答案当a=0时,f(0)=0,有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b); 当a>0时,在[0,a]和[b,a+b]上分别应用拉格朗日中值定理有 [*] 显然0<ε1<a≤b≤ε2<a+b≤c,因f(x)在[0,c]上单调减少,故f2)≤f1),从而有[*] 因为a>0,所以有f(a+b)≤f(a)+f(b). 总之,当0≤a≤b≤a+b≤c时,f(a+b)≤f(a)+f(b)总成立.

解析
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