2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2013-09-15  109
问题 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案当a=0时，f(0)=0，有f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)； 当a＞0时，在[0，a]和[b，a+b]上分别应用拉格朗日中值定理有 [*] 显然0＜ε1＜a≤b≤ε2＜a+b≤c，因f’(x)在[0，c]上单调减少，故f’(ε2)≤f’(ε1)，从而有[*] 因为a＞0，所以有f(a+b)≤f(a)+f(b)． 总之，当0≤a≤b≤a+b≤c时，f(a+b)≤f(a)+f(b)总成立．
解析
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考研数学二

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