若A可逆且A~B,证明:A*~B*.

admin2019-09-29  29

问题 若A可逆且A~B,证明:A*~B*.

选项

答案因为A可逆且A~B,所以B可逆,A,B的特征值都相同且∣A∣=∣B∣. 因为A~B,所以存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B, 而A*=∣A∣A-1,B*=∣B∣B-1, 于是由P-1AP=B,得(P-1AP)-1=B-1,即P-1A-1P=B-1, 故P-1∣A∣A-1P=∣A∣B-1或P-1A*P=B*,于是A*~B*.

解析
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