求二元函数z=f(x，y)=x2y(4—x—y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2018-12-29 74

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4—x—y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点，即令 [*] 因此在D内只有驻点(2，1)相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值： (1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0。 (2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0。 (3)在x+y=6上，将y=6—x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x²(x—6)=g(x)，则由g′(x)=6x²—24x=0，得x=0(舍)，x=4，此时y=2。相应的函数值f(4，2)= —64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)= —64。

解析

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