设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题： ①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解； ③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。以上命题中正确的是( )

admin2019-01-19 63

问题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Aⁿx=0和(2)Aⁿ⁺¹x=0，现有四个命题：
①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解；
③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。
以上命题中正确的是( )

选项 A、①②。
B、①④。
C、③④。
D、②③。

答案A

解析若Aⁿα=0，则Aⁿ⁺¹α=A(Aⁿα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。
如果Aⁿ⁺¹α=0，而Aⁿα≠0，那么对于向量组α，Aα，A²α，…，Aⁿα一方面，若kα+k₁Aα+k₂A²α+…+k_nAⁿα=0，用Aⁿ左乘该式的两边得kAⁿα=0，由Aⁿα≠0可知必有k=0。类似地可得k₁=k₂=…=k_n=0，因此α，Aα，A²α，…，Aⁿα线性无关。
但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故Aⁿ⁺¹α=0时，必有Aⁿα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。
综上可知本题应选A。

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考研数学三

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