设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题： ①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解； ③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。以上命题中正确的是( )

admin2019-01-19 43

问题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Aⁿx=0和(2)Aⁿ⁺¹x=0，现有四个命题：
①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解；
③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。
以上命题中正确的是( )

选项 A、①②。
B、①④。
C、③④。
D、②③。

答案A

解析若Aⁿα=0，则Aⁿ⁺¹α=A(Aⁿα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。
如果Aⁿ⁺¹α=0，而Aⁿα≠0，那么对于向量组α，Aα，A²α，…，Aⁿα一方面，若kα+k₁Aα+k₂A²α+…+k_nAⁿα=0，用Aⁿ左乘该式的两边得kAⁿα=0，由Aⁿα≠0可知必有k=0。类似地可得k₁=k₂=…=k_n=0，因此α，Aα，A²α，…，Aⁿα线性无关。
但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故Aⁿ⁺¹α=0时，必有Aⁿα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。
综上可知本题应选A。

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考研数学三

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设A是m×n矩阵，对矩阵A作初等行变换得到矩阵B，证明：矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性．

设A和B均是m×n矩阵，秩r(A)+r(B)=n，若BBT—E且B的行向量是齐次方程组Ax=0的解，P是m阶可逆矩阵，证明：矩阵PB的行向量是Ax=0的基础解系．

设A是三阶实对称矩阵，特征值是1，0，一2，矩阵A的属于特征值1与一2的特征向量分别是(1，2，1)T与(1，一1，a)T，求Ax=0的通解．

已知α1=(1，1，0)T，α2=(1，3，一1)T，α3=(2，4，3)T，α4=(1，一1，5)T，A是3阶矩阵，满足Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=α4，求Aα4．

设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

设函数z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且≠0，试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c为一直线的充分必要条件是(f’y)2．f"xx一2f’x．f’y．f"xy+(f’x)2．f’yy=0．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为标准形f=3y12—6y22—6y32，其中矩阵Q的第1列是α1=()T．求二次型f(x1，x2，x3)的表达式．

设α1=，α2=，α3=，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为________．

二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为____________.

什么是深层的企业文化?其包含的主要内容有哪些?

中华民族的民族精神的基本内容包括()

下列化合物，既能发生亲核取代反应又能发生亲电取代反应的是()。

呼吸增快是指呼吸次数超过

根据《麻醉药品、第一类精神药品购用印鉴卡管理规定》，医疗机构申请《印鉴卡》应当符合的条件是()。

有关特发性血小板减少性紫癜的护理，哪项不妥

期货从业人员贬低或者诋毁其他机构，或者拒绝协会调查或检查的或者损害其他同业者的名誉的，暂停其从业资格()。

对于借款企业来说，补偿性余额会给企业带来的影响有(　　)。

Evenplantscanrunafever,especiallywhentheyareunderattackbyinsectsordisease.But【21】______humans,plantscanhave

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