2. 考研
  3. 设向量组α1=(n，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时： (I)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一； (Ⅱ)β不可由α1，α2，α3线性表出； (Ⅲ)β可由α1，

设向量组α1=(n，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时： (I)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一； (Ⅱ)β不可由α1，α2，α3线性表出； (Ⅲ)β可由α1，

admin2019-01-19  77
问题 设向量组α1=(n，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时：
(I)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一；
(Ⅱ)β不可由α1，α2，α3线性表出；
(Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。
选项
答案考虑线性方程组 k1α1+k2α2+k3α3=β， (1)记其系数矩阵A=(α1，α2，α3)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即 (A,β)=[*] (I)当a≠一10时，r(A)=r(A，β)=3，此时方程组(1)有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出。 (II)当a=一10，且c≠3b一1时， (A,β)=[*] 可知r(A)≠r(A，β)，此时方程组(1)无解，β不可由α1，α2，α3线性表出。 (Ⅲ)当a=一10，且c=3b—1时，(A，β)→[*] 可知r(A)=r(A，β)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为 k1=[*]，k2=l，k3=b—l，其中l为任意常数。 β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 β=[*]α1+lα2+(b—l)α3其中l为任意常数。
解析
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考研数学三

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