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设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式.
设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式.
admin
2014-02-05
42
问题
设函数f(x)连续且满足
求f(x)的表达式.
选项
答案
题设方程可改写为[*]①由f(x)连续知[*]与[*]可导,结合4—5x与36xe
z
可导即知f(x)可导,将上式两端求导得[*]化简得[*]②再将①中令x=0得f(0)0③求解①转化为求解②+③.从②式又知f(x)具有二介导数,将②式两端求导得f
’’
(x)+4f
’
(x)一5f(x)=36(x+2)e
x
.在②式中令x=0得f
x
(0)=36,综合可得y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题[*]的特解.从特征方程λ
2
+4λ一5=0可得二特征根λ
1
=1,λ
2
=一5,于是对应齐次微分方程有二线性无关特解e
x
与e
-5x
,而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式y
*
=x(Ax+B)e
x
,代入方程知待定系数A和B应满足恒等式[6(2Ax+B)+2A]e
x
=36(x+2)e
x
,不难得出A=3,B=11.从而方程具有通解y=C
1
e
x
+C
2
e
-5x
+(3x
2
+11x)e
x
,于是y
’
=C
1
e
x
一5C
2
e
-5x
+(3x
x
+17x+11)e
x
.利用初值y(0)=0与y
’
(0)=36可确定[*]综合即得[*]
解析
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考研数学二
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