设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式．

admin2014-02-05 12

问题设函数f(x)连续且满足

求f(x)的表达式．

选项

答案题设方程可改写为[*]①由f(x)连续知[*]与[*]可导，结合4—5x与36xe^z可导即知f(x)可导，将上式两端求导得[*]化简得[*]②再将①中令x=0得f(0)0③求解①转化为求解②+③．从②式又知f(x)具有二介导数，将②式两端求导得f^’’(x)+4f^’(x)一5f(x)=36(x+2)e^x．在②式中令x=0得f^x(0)=36，综合可得y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题[*]的特解．从特征方程λ²+4λ一5=0可得二特征根λ₁=1，λ₂=一5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解e^x与e^-5x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式y^*=x(Ax+B)e^x，代入方程知待定系数A和B应满足恒等式[6(2Ax+B)+2A]e^x=36(x+2)e^x，不难得出A=3，B=11．从而方程具有通解y=C₁e^x+C₂e^-5x+(3x²+11x)e^x，于是y^’=C₁e^x一5C₂e^-5x+(3x^x+17x+11)e^x．利用初值y(0)=0与y^’(0)=36可确定[*]综合即得[*]

解析

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