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  3. 设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式．

设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式．

admin2014-02-05  20
问题 设函数f(x)连续且满足求f(x)的表达式．
选项
答案题设方程可改写为[*]①由f(x)连续知[*]与[*]可导，结合4—5x与36xez可导即知f(x)可导，将上式两端求导得[*]化简得[*]②再将①中令x=0得f(0)0③求解①转化为求解②+③．从②式又知f(x)具有二介导数，将②式两端求导得f’’(x)+4f’(x)一5f(x)=36(x+2)ex．在②式中令x=0得fx(0)=36，综合可得y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题[*]的特解．从特征方程λ2+4λ一5=0可得二特征根λ1=1，λ2=一5，于是对应齐次微分方程有二线性无关特解ex与e-5x，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式y*=x(Ax+B)ex，代入方程知待定系数A和B应满足恒等式[6(2Ax+B)+2A]ex=36(x+2)ex，不难得出A=3，B=11．从而方程具有通解y=C1ex+C2e-5x+(3x2+11x)ex，于是y’=C1ex一5C2e-5x+(3xx+17x+11)ex．利用初值y(0)=0与y’(0)=36可确定[*]综合即得[*]
解析
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考研数学二

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