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  3. [2012年] 已知，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． 利用正交变换X=QY将f化为标准形．

[2012年] 已知，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． 利用正交变换X=QY将f化为标准形．

admin2019-07-23  21
问题 [2012年]  已知，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2．
利用正交变换X=QY将f化为标准形．
选项
答案令B=ATA=[*]，则 [*] 故B的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0．解(2E-B)X=0，(6E-B)X=0，(0E-B)X=0得其基础解系分别为α1=[1，一1，0]T，α2=[1，1，2]T，α3=[1，1，一1]T． 因λ1，λ2，λ3互异，α1，α2，α3必相互正交，将其单位化得 [*] 令Q=[β1，β2，β3]，则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有QTBQ=QT(ATA)Q=A，其中对角矩阵为A=diag(2，6，0)．这时，二次型f化为标准形 f(X)=XT(ATA)X=YTΛY=2y12+6y22．
解析
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考研数学一

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