设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为。求A；

admin2019-01-23 45

问题设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

。
求A；

选项

答案由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*]，则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为 (x₁，x₂，x₃)^T。因为Q为正交矩阵，所以 (x₁，x₂，x₃)[*]=0，即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=(一1，0，1)T，α₂=(0，1，0)T 。把α₁单位化得β₁=[*](一1，0，1)^T，所以 [*] 则 [*]。

解析

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