2. 考研
  3. 设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明： (1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值； (2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．

设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明： (1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值； (2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．

admin2018-09-25  15
问题 设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明：
(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值；
(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．
选项
答案n为偶数，令n=2k，构造极限 [*] (1)当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性=>存在x0的某个去心邻域 [*] =>f(x)＜f(x0)，故x0为极大值点． (2)当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性=>存在x0的某个去心邻域 [*] =>f(x)＞f(x0)，故x0为极小值点．
解析
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考研数学一

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