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在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(z,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(z,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
admin
2019-08-23
56
问题
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(z,Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.
选项
答案
设所求曲线为y=y(χ),该曲线在点P(χ,y)的法线方程为 Y-y=-[*](X-χ)(y′≠0), 令Y=0,得X=χ+yy′,该点到χ轴法线段PQ的长度为[*], 由题意得[*],即yy〞=1+y
′2
. 令y′=p,则y=p[*],则有yp[*]=1+p
2
,或者[*], 两边积分得y=C
1
[*], 由y(1)=1,y′(1)=0得C
1
=1, 所以y′=±[*],变量分离得[*]=±dχ, 两边积分得ln(y+[*])=±χ+C
1
,由y(1)=1得C
2
=[*]1, 所以ln(y+[*])=±(χ-1),即y+[*], 又y+[*],所以y-[*] 两式相加得y=[*]=ch(χ-1).
解析
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考研数学二
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