已知fn(x)满足(n为正整数)，且。求函数项级数的和函数。

admin2019-01-25 50

问题已知f_n(x)满足

(n为正整数)，且

。求函数项级数

的和函数。

选项

答案f_n(x)满足微分方程[*]，所以用一阶线性微分方程的通解公式得其通解为 [*] 已知[*]，因此C＝0，所以[*]，于是 [*] 设[*]，显然其收敛域为[－1，1] ，且S(0)＝0，X∈(1，1)时， [*] 当x＝－1时S(x)连续，因此x＝－1处和函数也满足上述式子，当x＝1时， [*]

解析本题考查求函数项级数的和函数。首先通过解微分方程得出f_n(x)的表达式，然后利用逐项求导不改变级数的收敛区间的性质，将函数项级数转化为容易求出和函数的形式并写出和函数，最后对该和函数求积分，得出原级数的和函数。

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考研数学三

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意给定的正数a，b，在(0，1)内存在不同的点ξ，η，使=a+b．
验证函数f(x)=在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理中的点ξ．
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