设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，…，αn—1均正交．证明：β1与β2线性相关．

admin2016-04-11 80

问题设α₁，…，α_n—1，β₁，β₂均为n维实向量，α₁，…，α_n—1线性无关，且β_j(j=1，2)与α₁，…，α_n—1均正交．证明：β₁与β₂线性相关．

选项

答案n+1个n维向量α₁，…，α_n—1，β₁，β₂，线性相关，故有不全为0的一组数k₁，…，k_n—1，k_n，k_n+1，使k₁α₁+…k_n—1α_n—1+k_nβ₁+k_n+1β₂=0，且k_n与k_n+1不全为0(否则k₁，…，k_n—1不全为0，使k₁α₁+…k_n—1α_n—1=0，这与α₁，…，α_n—1线性无关矛盾)，用k_nβ₁+k_n+1β₂与上面等式两端作内积，得‖k_nβ₁+k_n+1β₂‖²=0，→k_nβ₁+k_n+1β₂=0．且因k_n和k_n+1不全为0，知β₁与β₂线性相关．

解析

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考研数学一

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设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，…，αn—1均正交．证明：β1与β2线性相关．

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