设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．证明：A可对角化．

admin2018-05-17 64

问题设n阶矩阵A满足(aE－A)(bE－A)＝O且a≠b．证明：A可对角化．

选项

答案由(aE－A)(bE－A)＝O，得｜aE－A｜.｜bE－A｜＝0，则｜aE－A｜＝0或者｜bE－A｜＝0．又由(aE－A)(bE－A)＝O，得，r(aE－A)＋r(bE－A)≤n．同时r(aE－A)＋r(bE－A)≥r[(aE－A)－(bE－A)]＝r[(a－b)E]＝n．所以r(aE－A)＋r(bE－A)＝n． (1)若｜aE－A｜≠0，则r(aE－A)＝n，所以r(bE－A)＝0，故A＝bE． (2)若｜bE－A｜≠0，则r(bE－A)＝n，所以r(aE－A)＝0，故A＝aE． (3)若｜aE－A｜＝0且｜bE－A｜＝0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE－A)X＝0的基础解系含有n－r(aE－A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n－r(aE－A)个；方程组(bE－A)X＝0的基础解系含有n－r(bE－A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n－r(bE－A)个．因为n－r(aE－A)＋n－r(bE－A)＝n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

解析

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考研数学二

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