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已知向量组(I):α1,α2,α3 ;(Ⅱ):α1,α2,α3 ,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3 ,α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3,秩(Ⅲ)=4,证明向量组α1,α2,α3,α5—α4的秩为4.
已知向量组(I):α1,α2,α3 ;(Ⅱ):α1,α2,α3 ,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3 ,α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3,秩(Ⅲ)=4,证明向量组α1,α2,α3,α5—α4的秩为4.
admin
2019-05-10
46
问题
已知向量组(I):α
1
,α
2
,α
3
;(Ⅱ):α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;(Ⅲ):α
1
,α
2
,α
3
,α
5
如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3,秩(Ⅲ)=4,证明向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
5
—α
4
的秩为4.
选项
答案
可用初等列变换证明,还可利用两向量组等价必等秩的结论证之. 转化为矩阵证明.设A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
5
],B=[α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
],注意到α
1
,α
2
,α
3
线性无关,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.由命题2.3.1.1知,α
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
,则 B=[α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
]=[α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一λ
1
α
1
—λ
2
α
2
一λ
3
α
3
] [*][α
1
,α
2
,α
3
,α
5
]=A. 因而矩阵B与A等价,故秩(B)=秩(A)=4,即α
1
,α
2
,α
3
,α
5
一α
4
线性无关.
解析
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考研数学二
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