2. 考研
  3. 已知向量组(I)：α1，α2，α3 ；(Ⅱ)：α1，α2，α3 ，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3 ，α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4，证明向量组α1，α2，α3，α5—α4的秩为4．

已知向量组(I)：α1，α2，α3 ；(Ⅱ)：α1，α2，α3 ，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3 ，α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4，证明向量组α1，α2，α3，α5—α4的秩为4．

admin2019-05-10  49
问题 已知向量组(I)：α1，α2，α3 ；(Ⅱ)：α1，α2，α3 ，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3 ，α5如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4，证明向量组α1，α2，α3，α5—α4的秩为4．
选项
答案 可用初等列变换证明，还可利用两向量组等价必等秩的结论证之． 转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]，注意到α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关．由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则 B=[α1，α2，α3，α5一α4]=[α1，α2，α3，α5一λ1α1—λ2α2一λ3α3] [*][α1，α2，α3，α5]=A． 因而矩阵B与A等价，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关．
解析
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考研数学二

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