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[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=O,则( ).
[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=O,则( ).
admin
2019-04-28
19
问题
[2008年] 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A
3
=O,则( ).
选项
A、E—A不可逆,E+A不可逆
B、E—A不可逆,E+A可逆
C、E—A可逆,E+A可逆
D、E—A可逆,E+A不可逆
答案
C
解析
解一 由A
3
=O得E=E-A
3
=(E-A)(E+A+A
3
),
E=E+A
3
=(E+A)(E-A+A
3
).
由命题2.2.1.2知,E-A,E+A均可逆.仅(C)入选.
解二 因A
3
=0,即A为幂零矩阵,其n个特征值全部都等于零,则A的矩阵多项式f
1
(A)=E-A的n个特征值为f
1
(λ)|
λ=0
=(1-λ)|
λ=0
=1.因而|E-A|=1≠0,故E一A可逆.
A的另一个矩阵多项式f
2
(A)=E+A的n个特征值为f
2
(λ)|
λ=0
=(1+λ)|
λ=0
=1.故
|E+A|=1,所以E+A可逆.
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考研数学三
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