[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．

admin2019-04-28 39

问题 [2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A³=O，则( )．

选项 A、E—A不可逆，E+A不可逆
B、E—A不可逆，E+A可逆
C、E—A可逆，E+A可逆
D、E—A可逆，E+A不可逆

答案C

解析解一由A³=O得E=E-A³=(E－A)(E+A+A³)，
E=E+A³=(E+A)(E－A+A³)．
由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．
解二因A³=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f₁(A)=E－A的n个特征值为f₁(λ)｜_λ=0=(1-λ)｜_λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．
A的另一个矩阵多项式f₂(A)=E+A的n个特征值为f₂(λ)｜_λ=0=(1+λ)｜_λ=0=1．故
|E+A|=1，所以E+A可逆．

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