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  3. [2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．

[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )．

admin2019-04-28  56
问题 [2008年]  设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则(    )．
选项 A、E—A不可逆，E+A不可逆
B、E—A不可逆，E+A可逆
C、E—A可逆，E+A可逆
D、E—A可逆，E+A不可逆
答案C
解析 解一  由A3=O得E=E-A3=(E－A)(E+A+A3)，
    E=E+A3=(E+A)(E－A+A3)．
    由命题2．2．1．2知，E－A，E+A均可逆．仅(C)入选．
    解二  因A3=0，即A为幂零矩阵，其n个特征值全部都等于零，则A的矩阵多项式f1(A)=E－A的n个特征值为f1(λ)｜λ=0=(1-λ)｜λ=0=1．因而|E－A|=1≠0，故E一A可逆．
    A的另一个矩阵多项式f2(A)=E+A的n个特征值为f2(λ)｜λ=0=(1+λ)｜λ=0=1．故
    |E+A|=1，所以E+A可逆．
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考研数学三

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