设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫0xf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

admin2020-03-10 97

问题设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：2x－∫₀^xf(t)dt＝1在(0，1)有且仅有一个根．

选项

答案令φ(x)＝2x－∫₀^xf(t)dt－1，φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫₀¹f(t)dt，因为f(x)＜1，所以∫₀¹f(t)dt＜1，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0．因为φ’(x)＝2－f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程2x－∫₀^xf(t)dt＝1有且仅有一个根．

解析

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