设二次型f(x1，x2，x3)＝a(x12，x22，x32)＋2x1x2＋2x1x3＋2x2x3的规范形为y12－y22－y32，则( )．

admin2020-10-30 23

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝a(x₁²，x₂²，x₃²)＋2x₁x₂＋2x₁x₃＋2x₂x₃的规范形为y₁²－y₂²－y₃²，则( )．

选项 A、a＝1，－2．
B、a＜－2．
C、a＞1．
D、－2＜a＜1．

答案D

解析 f＝x^TAx，其中A＝

，A的特征多项式

由｜λE－A｜＝0，得A的特征值为λ₁＝λ₂＝a－1，λ₃＝a＋2．
由于二次型f的规范形为y₁²－y₂²－y₃²，所以f的正惯性指数为1，负惯性指数为2，从而二次型f的矩阵A的特征值中有1个正的、2个负的，故a+2＞0，a－1＜0，即－2＜a＜1．应选D

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考研数学三

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