设f(x1，x2，x3)=4x22-3x32-4x1x3+4x1x2+8x2x3。 (Ⅰ)写出二次型的矩阵形式； (Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。

admin2019-05-14 65

问题设f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²-3x₃²-4x₁x₃+4x₁x₂+8x₂x₃。
(Ⅰ)写出二次型的矩阵形式；
(Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。

选项

答案(Ⅰ)令A=[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx。 (Ⅱ)由二次型矩阵的特征方程｜λE-A｜=[*]=(λ+6)(λ-1)(λ-6)=0，解得特征值λ₁=-6，λ₂=1，λ₃=6。当λ₁=-6时，由(-6E-A)x=0，得特征向量ξ₁=[*] 当λ₂=1时，由(E-A)x=0，得特征向量ξ₂=[*] 当λ₃=6时，由(6E-A)x=0，得特征向量ξ₃=[*] 由施密特正交化方法得 [*] 令Q=[*]，则Q^TAQ=[*]，于是有 f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx[*]-6y₁²+y₂²+6y₃²。

解析

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考研数学一

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