设f(x1,x2,x3)=4x22-3x32-4x1x3+4x1x2+8x2x3。 (Ⅰ)写出二次型的矩阵形式; (Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形,并写出正交阵。

admin2019-05-14  29

问题 设f(x1,x2,x3)=4x22-3x32-4x1x3+4x1x2+8x2x3
(Ⅰ)写出二次型的矩阵形式;
(Ⅱ)用正交变换法求二次型的标准形,并写出正交阵。

选项

答案(Ⅰ)令A=[*],则f(x1,x2,x3)=xTAx。 (Ⅱ)由二次型矩阵的特征方程|λE-A|=[*]=(λ+6)(λ-1)(λ-6)=0, 解得特征值λ1=-6,λ2=1,λ3=6。 当λ1=-6时,由(-6E-A)x=0,得特征向量ξ1=[*] 当λ2=1时,由(E-A)x=0,得特征向量ξ2=[*] 当λ3=6时,由(6E-A)x=0,得特征向量ξ3=[*] 由施密特正交化方法得 [*] 令Q=[*],则QTAQ=[*],于是有 f(x1,x2,x3)=xTAx[*]-6y12+y22+6y32

解析
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