已知A＝－E＋αβT，其中α＝，β＝，且αTβ＝3，证明A可逆并求A-1．

admin2018-06-12 36

问题已知A＝－E＋αβ^T，其中α＝

，β＝

，且α^Tβ＝3，证明A可逆并求A^-1．

选项

答案记B＝αβ^T，则A＝－E＋B．而 [*] 由于r(B)＝1，α^Tβ＝a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＝3，故｜λAE－B｜＝λ³－(a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃)λ²＝λ³－3λ²．所以矩阵B的特征值是3，0，0．那么，矩阵A的特征值是2，－1，－1，故A可逆．因为α^Tβ＝β^Tα＝3，有B²＝(αβ^T)(αβ^T)＝α(β^Tα)β^T＝3B．于是(A＋E)²＝3(A＋E)，即A²－A＝2E，亦即A.[*](A－E)＝E．所以 [*]

解析

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考研数学一

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