设A是n阶矩阵,α1,α2,α3,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,…Aαn-1=αn,Aαn=0 证明:α1,α2,α3,…,αn线性无关。

admin2021-11-25  24

问题 设A是n阶矩阵,α123,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若
12,Aα23,…Aαn-1n,Aαn=0

证明:α123,…,αn线性无关。

选项

答案令x1α1+x2α2+x3α3+…+xnαn=0,则 x11+x22+x33+…+xnn=0→x1α2+x2α3+x3α4+…+xn-1αn=0 x12+x23+x34+...+xn-1n=0→x1α3+x2α4+x3α5+...+xn-2αn=0 . . . x1αn=0 因为αn≠0,所以x1=0,反推可得x2=x3=...=xn=0,所以α123,…,αn线性无关。

解析
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