设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O,若r(A)=k(0<k<n),则|A+3E|=_______________.

admin2021-02-25  42

问题 设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O,若r(A)=k(0<k<n),则|A+3E|=_______________.

选项

答案3n-k(0<k<n).

解析 本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式.先用特征值与特征向量的定义求出抽象矩阵的特征值,再由r(A)=k(0<k<n)确定A的特征值的重数,最后根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式.
由A2+2A=O知,A的特征值为-2或0,又r(A)=k(0<k<n),且A是n阶实对称矩阵,则
   
故|A+3E|=3n-k
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