设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O，若r(A)=k(0＜k＜n)，则｜A+3E｜=_______________．

admin2021-02-25 51

问题设n阶实对称矩阵A满足A²+2A=O，若r(A)=k(0＜k＜n)，则｜A+3E｜=_______________．

选项

答案3^n-k(0＜k＜n)．

解析本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义求出抽象矩阵的特征值，再由r(A)=k(0＜k＜n)确定A的特征值的重数，最后根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．
由A²+2A=O知，A的特征值为-2或0，又r(A)=k(0＜k＜n)，且A是n阶实对称矩阵，则

故｜A+3E｜=3^n-k．

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