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设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.
admin
2018-05-23
44
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明:向量β为零向量.
选项
答案
(反证法)不妨设β≠0,令k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
+k
0
β=0,上式两边左乘β
T
得k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
n
β
T
α
n
+k
0
β
T
β=0 因为α
1
,α
2
,…,α
n
与β正交,所以k
0
β
T
β=0,即k
0
‖β‖
2
=0,从而k
0
=0,于是k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0,再由α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,得k
1
=k
2
=…k
n
=0,故α
1
,α
2
,…,α
n
,β线性无关,矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关),所以β=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rsg4777K
0
考研数学一
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