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设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=kα1,Aα2=lα1+kα2,Aα3=lα2+lα3,l≠0,证明α1,α2,α3线性无关.
设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=kα1,Aα2=lα1+kα2,Aα3=lα2+lα3,l≠0,证明α1,α2,α3线性无关.
admin
2019-03-12
58
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是n维列向量,且α
1
≠0,Aα
1
=kα
1
,Aα
2
=lα
1
+kα
2
,Aα
3
=lα
2
+lα
3
,l≠0,证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
选项
答案
(定义法,同乘) 若k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0,用A-kE层左乘有 k
1
(A-kE)α
1
+k
2
(A-kE)α
2
+k
3
(A-kE)α
3
=0, 即 k
2
lα
1
+k
3
lα
2
=0, 亦即k
2
α
1
+k
3
α
2
=0. 再用A-kE左乘,可得k
3
α
1
=0. 由α
1
≠0,故必有k
3
=0,依次往上代人得k
2
=0及k
1
=0,所以α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
解析
对k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0,如何证明组合系数k
1
=k
2
=k
3
=0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件,Aα
i
的条件其实就是
(A-kE)α
1
=0, (A-kE)α
2
=lα
1
, (A-kE)α
3
=lα
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tyP4777K
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考研数学三
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