设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=kα1,Aα2=lα1+kα2,Aα3=lα2+lα3,l≠0,证明α1,α2,α3线性无关.

admin2019-03-12  58

问题 设A是n阶矩阵,α1,α2,α3是n维列向量,且α1≠0,Aα1=kα1,Aα2=lα1+kα2,Aα3=lα2+lα3,l≠0,证明α1,α2,α3线性无关.  

选项

答案(定义法,同乘) 若k1α1+k2α2+k3α3=0,用A-kE层左乘有 k1(A-kE)α1+k2(A-kE)α2+k3(A-kE)α3=0, 即 k21+k32=0, 亦即k2α1+k3α2=0. 再用A-kE左乘,可得k3α1=0. 由α1≠0,故必有k3=0,依次往上代人得k2=0及k1=0,所以α1,α2,α3线性无关.

解析 对k1α1+k2α2+k3α3=0,如何证明组合系数k1=k2=k3=0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件,Aαi的条件其实就是
    (A-kE)α1=0,  (A-kE)α2=lα1,  (A-kE)α3=lα2
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