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设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+lα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．
设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+lα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．
admin
2019-03-12
71
问题
设A是n阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是n维列向量，且α
1
≠0，Aα
1
=kα
1
，Aα
2
=lα
1
+kα
2
，Aα
3
=lα
2
+lα
3
，l≠0，证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
选项
答案
(定义法，同乘) 若k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0，用A-kE层左乘有 k
1
(A-kE)α
1
+k
2
(A-kE)α
2
+k
3
(A-kE)α
3
=0， 即 k
2
lα
1
+k
3
lα
2
=0， 亦即k
2
α
1
+k
3
α
2
=0． 再用A-kE左乘，可得k
3
α
1
=0． 由α
1
≠0，故必有k
3
=0，依次往上代人得k
2
=0及k
1
=0，所以α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
解析
对k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0，如何证明组合系数k
1
=k
2
=k
3
=0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，Aα
i
的条件其实就是
(A-kE)α
1
=0， (A-kE)α
2
=lα
1
， (A-kE)α
3
=lα
2
．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tyP4777K
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考研数学三
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