设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+lα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2019-03-12 77

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，α₃是n维列向量，且α₁≠0，Aα₁=kα₁，Aα₂=lα₁+kα₂，Aα₃=lα₂+lα₃，l≠0，证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案(定义法，同乘) 若k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，用A-kE层左乘有 k₁(A-kE)α₁+k₂(A-kE)α₂+k₃(A-kE)α₃=0，即 k₂lα₁+k₃lα₂=0，亦即k₂α₁+k₃α₂=0．再用A-kE左乘，可得k₃α₁=0．由α₁≠0，故必有k₃=0，依次往上代人得k₂=0及k₁=0，所以α₁，α₂，α₃线性无关．

解析对k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，如何证明组合系数k₁=k₂=k₃=0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，Aα_i的条件其实就是
(A-kE)α₁=0， (A-kE)α₂=lα₁， (A-kE)α₃=lα₂．

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考研数学三

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设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=lα1+kα2，Aα3=lα2+lα3，l≠0，证明α1，α2，α3线性无关．

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