2. 考研
  3. (12年)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q-1AQ＝ 【 】

(12年)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q-1AQ＝ 【 】

admin2017-05-26  126
问题 (12年)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q-1AQ＝    【    】
选项 A、
B、
C、
D、
答案B
解析 由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1＋α2≠0(否则α1，α2线性相关，与α1，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1＋α2)＝Aα1＋Aα2＝α1＋α2，因此α1＋α2是A的属于特征值1的一个特征向量．
    从而知α1＋α2，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出
    (α1＋α2，α2，α3)A-1(α1＋α2，α2，α3)＝diag(1，1，2)，
    即Q-1AQ＝diag(1，1，2)．因此选B．
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考研数学三

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