2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明: r(A*)=

设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明: r(A*)=

admin2019-01-19  65
问题 设A为n阶矩阵(n≥2)，A*为A的伴随矩阵，证明:
r(A*)=
选项
答案(1)当r(A)=n时，|A|≠0，则有|A*|=|A|n-1≠0，从而A*可逆，即r(A*)=n。 (2)当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1。 又因r(A)=n一1时，有|A|=0，且由AA*=|A|层知AA*=0。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)≤n， 把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。 综上所述，有r(A*)=1。 (3)当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零,即A*=0，从而r(A*)=0。
解析
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考研数学三

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