2. 考研
  3. 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α． 证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α． 证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆； (Ⅱ)BTB是正定矩阵．

admin2015-05-07  85
问题 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα－2A2α．
    证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
    (Ⅱ)BTB是正定矩阵．
选项
答案(Ⅰ)由于A3α=3Aα－2A2α，故 A4α=3A2α－2A3α=3A2α－2(3Aα－2A2α)=7A2α－6Aα． 若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α－6Aα)=0， 亦即k1α+(k2－6k3)Aα+7k3A2α=0，因为α，Aα，A2α线性无关，故 [*] 所以，α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆． (Ⅱ)因为(BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB是对称矩阵．又[*]≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)>0，故二次型xT(BTB)x是正定二次型，从而矩阵BTB是正定矩阵．
解析
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考研数学一

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