首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α. 证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆; (Ⅱ)BTB是正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α. 证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆; (Ⅱ)BTB是正定矩阵.
admin
2015-05-07
63
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α.
证明:(Ⅰ)矩阵B=(α,Aα,A
4
α)可逆;
(Ⅱ)B
T
B是正定矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由于A
3
α=3Aα-2A
2
α,故 A
4
α=3A
2
α-2A
3
α=3A
2
α-2(3Aα-2A
2
α)=7A
2
α-6Aα. 若k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0,即k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α-6Aα)=0, 亦即k
1
α+(k
2
-6k
3
)Aα+7k
3
A
2
α=0,因为α,Aα,A
2
α线性无关,故 [*] 所以,α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆. (Ⅱ)因为(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B是对称矩阵.又[*]≠0,由于矩阵B可逆,恒有Bx≠0,那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)>0,故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型,从而矩阵B
T
B是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xi54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+ax32-4x1x2-4x2x3经正交变换化为标准形f=2y12+5y22+by32,则().
设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的三个不同的特征值,ξ1,ξ2,ξ3是三个对应的特征向量.证明:当λ2λ3≠0时,向量组ξ1,A(ξ1+ξ2),A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关.
设A是3阶矩阵,ξ1,ξ2,ξ3是三个线性无关的3维列向量,满足Aξi=ξi,i=1,2,3,则A=________.
设A为4阶可逆矩阵,若将矩阵A的第二、三列交换位置,再将第四列乘-2加至第二列,得到矩阵B,求B-1A.
已知方程组及方程组(Ⅱ)的通解为k1[-1,1,1,0]T+k2[2,-1,0,1]T+[-2,-3,0,0]T.求方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的公共解.
已知线性方程组问a满足什么条件时,方程组有唯一解?并给出唯一解.
微分方程的通解是______.
一半径为R的球沉入水中,球面顶部正好与水面相切,球的密度为1,求将球从水中取出所做的功.
设A,B为同阶方阵,(I)如果A,B相似,试证A,B的特征多项式相等.(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立.(Ⅲ)当A,B均实对称矩阵时,试证(I)的逆命题成立.
随机试题
下列选项中属于中枢免疫器官的是
魏碑:仿宋:字体
下列选项中属于财产损失保险的有()。
建设工程材料设备采购合同的买受人即采购人是()。
累进税率可以有效地调节纳税人的收人、财产等,下列关于超额累进税率和全额累进税率的说法中正确的是()。
“只要产品质量好,就一定有销路”属于()观念。
人民警察的政治纪律是有关人民警察()方面的规范。
Theconceptionofpovertyandwhatto【C1】______aboutithavechangedoverthedecades.UnderSocialDarwinismthelazyandthe【C
NeitherBilly’smother______hisfatherknowsthewaytothevillage.
Overthelasttwoyears,inthePCbusinessMichaelDellhasbeenbeatenlikearentedmule.Hiscompanycontinuestolosemarke
最新回复
(
0
)