设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒

admin2020-03-10  71

问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.

选项

答案曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为 Y-y=yˊ(X-x). 它与x轴的交点为(x-[*],0).由于yˊ(x)>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 S1=[*] 又S2=∫0xy(t)dt,由条件2S1-S2=1知 [*]-∫0xy(t)dt=1. ① 两边对x求导并化简得yyˊˊ=(yˊ)2.令p=yˊ,则上述方程可化为 yp[*]=p2, 从而[*],解得p=C1y,即[*]= C1y.于是y=[*] 注意到y(0)=1,并由①式得yˊ(0)=1.由此可得C1=1,C2=0,故所求曲线的方程是y=ex

解析
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