设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x，y)。

admin2018-12-29 29

问题设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分

与路径无关，并且对任意t恒有∫_(0，0)^(t，1)2xydx+Q(x,y)dy=∫_(0，0)^(1，t)2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x，y)。

选项

答案根据曲线积分和路径无关的条件，可知[*]，因此有Q(x，y)=x²+C(y)成立，其中C(y)为待定函数。又因为 [*] 由已知可知 [*] 两边对t求导可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y—1，因此有Q(x，y)=x²+2y—1。

解析

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考研数学一

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