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已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵B=,并且AB=0,求齐次线性方程组AX=0的通解.
已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵B=,并且AB=0,求齐次线性方程组AX=0的通解.
admin
2020-03-16
29
问题
已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵B=
,并且AB=0,求齐次线性方程组AX=0的通解.
选项
答案
由于AB=0,r(A)+r(B)≤3,并且B的3个列向量都是AX=0的解. (1)若k≠9,则r(B)=2,r(A)=1,AX=0的基础解系应该包含两个解.(1,2,3)
T
和(3,6,k)
T
都是解,并且它们线性无关,从而构成基础解系,通解为: c
1
(1,2,3)
T
+c
2
(3,6,k)
T
,其中c
1
,c
2
任意. (2)如果k=9,则r(B)=1,r(A)=1或2. ①r(A)=2,则AX=0的基础解系应该包含一个解,(1,2,3)
T
构成基础解系,通解为: c(1,2,3)
T
,其中c任意. ②r(A)=1,则AX=0的基础解系包含两个解,而此时B的3个列向量两两相关,不能用其中的两个构成基础解系. 由r(A)=1,A的行向量组的秩为1,第一个行向量(a,b,c)(≠0!)构成最大无关组,因此第二,三个行向量都是(a,b,c)的倍数,从而AX=0和方ax
1
+bx
2
+cx
3
=0同解.由于(1,2,3)
T
是解,有a+2b+3c=0,则a,b不都为0(否则a,b,c都为0),于是(b,-a,0)
T
也是ax
1
+bx
2
+cx
3
=0的一个非零解,它和(1,2,3)
T
线性无关,一起构成基础解系,通解为: c
1
(1,2,3)
T
+c
2
(b,-a,0)
T
,其中c
1
,c
2
任意.
解析
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