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  3. 已知3阶矩阵A的第一行为(a，b，c)，a，b，c不全为0，矩阵B=，并且AB=0，求齐次线性方程组AX=0的通解．

已知3阶矩阵A的第一行为(a，b，c)，a，b，c不全为0，矩阵B=，并且AB=0，求齐次线性方程组AX=0的通解．

admin2020-03-16  27
问题 已知3阶矩阵A的第一行为(a，b，c)，a，b，c不全为0，矩阵B=，并且AB=0，求齐次线性方程组AX=0的通解．
选项
答案由于AB=0，r(A)+r(B)≤3，并且B的3个列向量都是AX=0的解． (1)若k≠9，则r(B)=2，r(A)=1，AX=0的基础解系应该包含两个解．(1，2，3)T和(3，6，k)T都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c1(1，2，3)T+c2(3，6，k)T，其中c1，c2任意． (2)如果k=9，则r(B)=1，r(A)=1或2． ①r(A)=2，则AX=0的基础解系应该包含一个解，(1，2，3)T构成基础解系，通解为： c(1，2，3)T，其中c任意． ②r(A)=1，则AX=0的基础解系包含两个解，而此时B的3个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系． 由r(A)=1，A的行向量组的秩为1，第一个行向量(a，b，c)(≠0！)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而AX=0和方ax1+bx2+cx3=0同解．由于(1，2，3)T是解，有a+2b+3c=0，则a，b不都为0(否则a，b，c都为0)，于是(b，－a，0)T也是ax1+bx2+cx3=0的一个非零解，它和(1，2，3)T线性无关，一起构成基础解系，通解为： c1(1，2，3)T+c2(b，－a，0)T，其中c1，c2任意．
解析
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考研数学二

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