已知三元二次型 XTAX=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为2,则其规范形为________。

admin2015-11-16  24

问题 已知三元二次型
    XTAX=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3
的秩为2,则其规范形为________。

选项

答案y12-y32

解析 解  因,且r(A)=2,故|A|=0。易求得
|A|=-(a+2)(a-1)2
于是由r(A)=2知,a=-2。由
    |λE-A|=λ(λ-3)(λ+3)=0
可知A的特征值为-3,0,3。在正交变换下该二次型的标准形为3y12-3y32,故其规范形为y12-y32
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