证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

admin2020-03-16 29

问题证明对于任何m×n实矩阵A，A^TA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则A^TA是正定矩阵．

选项

答案设λ是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有A^TAη＝λη，于是η^TA^TAη＝λη^Tη，即(Aη，Aη)＝λ(η，η)．则 λ＝(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩为n，则AX＝0没有非零解，从而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此 λ＝(Aη，Aη)／(η，η)＞0．

解析

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考研数学二

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