设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．

admin2018-11-21 73

问题设a，b，c为实数，求证：曲线y=e^x与y=ax²+bx+c的交点不超过三个．

选项

答案令f(c)=e^x一ax²—bx—c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x₁＜x₂＜x₃＜x₄，使得f(x_i)=0，i=1，2，3，4．由于f(x)在[x₁，x₄]上可导，由罗尔定理可知f’(x)在(x₁，x₂)，(x₂，x₃)，(x₃，x₄)内至少各有一个零点ξ₁，ξ₂，ξ₃．又由于f’(x)在[ξ₁，ξ₃]上可导，由罗尔定理可知f"(x)在(ξ₁，ξ₂)，(ξ₂，ξ₃)内至少各有一个零点η₁，η₂．同样地，由于f"(x)在[η₁，η₂]上可导，由罗尔定理可知f"’(x)在(η₁，η₂)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(一∞，+∞)使得f"’(ζ)=0，而f"’(x)=e^x＞(戈∈(一∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．

解析问题等价于f(x)=e^x一ax²一bx—c的零点不超过三个．根据罗尔定理，可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点．因此本题需要用反证法．

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考研数学一

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