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设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．
设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．
admin
2018-11-21
21
问题
设a，b，c为实数，求证：曲线y=e
x
与y=ax
2
+bx+c的交点不超过三个．
选项
答案
令f(c)=e
x
一ax
2
—bx—c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x
1
＜x
2
＜x
3
＜x
4
，使得f(x
i
)=0，i=1，2，3，4． 由于f(x)在[x
1
，x
4
]上可导，由罗尔定理可知f’(x)在(x
1
，x
2
)，(x
2
，x
3
)，(x
3
，x
4
)内至少各有一个零点ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
．又由于f’(x)在[ξ
1
，ξ
3
]上可导，由罗尔定理可知f"(x)在(ξ
1
，ξ
2
)，(ξ
2
，ξ
3
)内至少各有一个零点η
1
，η
2
．同样地，由于f"(x)在[η
1
，η
2
]上可导，由罗尔定理可知f"’(x)在(η
1
，η
2
)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(一∞，+∞)使得f"’(ζ)=0，而f"’(x)=e
x
＞(戈∈(一∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．
解析
问题等价于f(x)=e
x
一ax
2
一bx—c的零点不超过三个．根据罗尔定理，可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点．因此本题需要用反证法．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/npg4777K
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考研数学一
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